Menghitung Momen Inersia

Momen inersia penampang adalah salah satu parameter geometri yang sangat penting dalam analisis struktur. Untuk penampang yang beraturan, seperti persegi, formula untuk menghitung momen inersia $latex \dfrac{bh^3}{12} $ saya yakin kita sudah hapal di luar kepala, bahkan sambil merem juga bisa.

Formula nenek moyang dari momen inersia terhadap sumbu x adalah:

$latex I_x = \int y^2 \, dA $

Kalo untuk sumbu y, yaa tinggal ditukar aja.. y menjadi x, x menjadi y.. gitu aja kok repot. 🙂

$latex I_y = \int x^2 \, dA $ Dari formula dasar itulah kita bisa menurunkan formula momen inersia untuk bentuk geometri apapun!

Bentuk Persegi

Persegi di atas berukuran $latex b \times h $, dengan sumbu x terletak pada sumbu netral atau garis berat. Berdasarkan formula dasar $latex I_x = \int y^2 \, dA $, maka kita harus meninjau sebuah elemen kecil $latex \, dA $. Elemen ini mempunyai ukuran $latex \, dx $ dan $latex \, dy $. Sehingga bisa kita tuliskan

$latex dA = \, dx \cdot \, dy $

Jika kita kumpulkan semua elemen $latex \, dA $ yang mempunyai nilai $latex y $ yang sama, maka elemen $latex \, dA $, kini menjadi

$latex d A = b \cdot \, dy $, sehingga

$latex I_x = \int by^2 \, dy $

Karena $latex b $ bernilai konstan untuk setiap nilai $latex y $, kita keluarkan saja $latex b $ dari kurungan cacing tersebut,

$latex I_x = b \int y^2 \, dy $

Sekarang, tinggal menentukan batas atas dan batas bawah dari $latex \, dy $. Berdasarkan gambar di atas, maka batas bawahnya adalah $latex -h/2 $ dan batas atas adalah $latex h/2 $. Sehingga

$latex I_x = b \int_{\frac{-h}{2}}^{\frac{h}{2}} y^2 \, dy $

Kalau diselesaikan,

$latex I_x \quad = b \cdot \dfrac{y^3}{3} \bigg|_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} $

$latex I_x \quad = b \bigg[ (\dfrac{h/2}{3})^3 – (\dfrac{-h/2}{3})^3 \bigg] $

$latex I_x \quad = b (\dfrac{h^3}{24} – \dfrac{-h^3}{24}) $

$latex I_x \quad = \dfrac{bh^3}{12} $

Wow.. itu kan rumus tutup mata yang tadi udah digosipkan di atas!!

Bagaimana Dengan Momen Inersia Terhadap Bukan Sumbu Netral?

Pertanyaan bagus!! (!?.. yang nanya siapa.. yang jawab siapa…)

Misalnya, pada gambar di atas, kita mau menentukan $latex I_x &s=-1 $ tapi sumbu x-x tidak pada garis berat, melainkan seperti pada gambar.

Kembali lagi ke rumus nemoy (nenek moyank)…

$latex I_x = \int y^2 \, dA $, jika dilanjutkan kira-kira akan seperti ini

$latex I_x \quad = \int y^2 b \, dy $

$latex I_x \quad = b \int_0^h y^2 \, dy $

Stop dulu… (hening)

Kalo diperhatikan… batas bawah dan batas atas integralnya… berbeda..!.

$latex I_x \quad = b \cdot \dfrac{y^3}{3} \big |_0^h $

$latex I_x \quad = \dfrac{bh^3}{3} $

Hohoho… ternyata nilainya lebih besar daripada $latex I_x $ terhadap sumbu netral.

Coba kita geser lebuh jauh lagi ke atas. Lihat gambar di bawah.

Mulai dari rumus dasar:

$latex I_x = \int y^2 \, dA $

Trus… catat: batas bawah = $latex y_o $, dan batas atas = $latex y_o + h $

$latex \begin{array}{rl} I_x &= \int_{y_o}^{y_o+h} by^2 \, dy\\ \\ &= b \cdot \dfrac{y^3}{3} \bigg|_{y_o}^{y_o+h} \\ \\ &= \dfrac{b}{3} \cdot \big[ (y_o + h)^3 – y_o^3 \big] \\ \\ &= \dfrac{b}{3} (y_o^3 + 3y_o^2h + 3y_oh^2 + h^3 – y_o^3) \\ \\ &= \dfrac{b}{3} \big[3y_oh (y_o + h) + h^3 \big] \\ \\ I_x &= \dfrac{bh^3}{3} + by_oh(y_o+h) \end{array} $

Hmm.. dimodif dikit boleh nggak?… Kita mau paksain ke bentuk nenek moyang.. $latex \dfrac{bh^3}{12} $. Bijimana caranya?.. simak terus.

$latex \begin{array}{rl} I_x &= \dfrac{4bh^3}{12} + by_oh(y_o+h) \\ \\ &= \dfrac{bh^3}{12} + \dfrac{3bh^3}{12} + by_o^2h + by_oh^2 \\ \\ &= \dfrac{bh^3}{12} + \dfrac{bh^3}{4} + by_o^2h + by_oh^2 \\ \\ &= \dfrac{bh^3}{12} + bh( \dfrac{h^2}{4} + y_o^2 + y_oh) \\ \\ &= \dfrac{bh^3}{12} + bh{(y_o + \dfrac{h}{2} )}^2 \end{array} $

Nah… udah kelihatan. $latex bh $ itu kan tidak lain adalah luas persegi, sementara $latex y_o+\dfrac{h}{2} $ adalah jarak titik berat ke sumbu momen inersia!.. atau kalo menurut gambar di atas $latex y_o + \dfrac{h}{2} = y $.

Secara umum bisa dituliskan:

$latex I_x = I_{ox} + Ay^2 $

dimana,

$latex I_x $ adalah momen inersia terhadap sumbu x tertentu

$latex I_{ox} $ adalah momen inersia terhadap sumbu netral (garis berat)

$latex A $ adalah luas bangun/penampang

$latex y $ adalah jarak dari titik berat ke sumbu momen inersia yang dicari.

Catatan : untuk tinjauan sumbu-y… tinggal ditukar aja kok.. x jadi y, y jadi x.. 🙂

Udah ah… ntar disambung lagi.. yang penting kalo udah tau konsep ini, penampang apa pun bisa kita cari momen inersianya..

Penting nggak? Ya penting lah.. soalnya tidak mustahil dalam desain maupun analisis elemen struktur, kita akan menemukan bentuk penampang yang tidak lazim… misalnya profil baja yang ukurannya tidak ada di dalam tabel. 🙂 []