Menghitung Momen Insersia (2)

Sebenarnya saya lagi menyusun contoh perhitungan balok beton yang lengkap. Tapi karena kelamaan, mending saya lanjut saja sedikit artikel tentang momen inersia. Nulis ini nggak lama kok.. 🙂

Pada bagian sebelumnya, kita sudah mengetahui formula dasar momen inersia sebuah bangun datar terhadap sumbu netralnya

$latex I_x=\int y^2 dA$

Kalo momen inersia terhadap sumbu yang BUKAN sumbu netral, formulanya adalah

$latex I_{x’} = I_x + Ay^2 $

Nah, kali ini kita coba bermain dengan bentuk persegi yang lebih kompleks. Salah satu bentuk persegi yang kompleks adalah bentuk profil baja WF sederhana. Saya sengaja pakai kata “sederhana” karena profil baja WF ini benar-benar tersusun dari bentuk dasar persegi. Sementara profil WF yang sebenarnya biasanya ada tambahan bentuk lengkung di daerah-daerah “ketiak” alias pertemuan pelat badan dan pelat sayap.

Pada gambar di atas, profil WF terdiri dari 3 bentuk persegi: 2 pelat sayap dan 1 pelat badan. Kedua pelat sayap simetris terhadap sumbu netral x-x. Berikut ini cara menghitung momen inersianya:

1. Formula momen inersia,
   $latex I_{xx} = \Sigma (I_{xi} + A_i{y_i}^2) $
   Kita gunakan simbol $latex \Sigma $ dan indeks $latex i $ karena obyek penyusun bentuk WF tersebut lebih dari 1.
2. Indeks-1 : pelat badan
   Lebar = $latex t_w $
   Tinggi = $latex H-2t_f $
   Titik pusat pelat badan berimpit dengan titik pusat WF (bisa dibuktikan), sehingga $latex y_1 = 0 $
   $latex I_{x1} = \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12} $
   $latex A_1{y_1}^2 = 0 $
3. Indeks-2 : pelat sayap atas
   Lebar = $latex B $
   Tinggi = $latex t_f $
   $latex y_2 = \dfrac{H}{2} – \dfrac{t_f}{2} = \dfrac12 (H-t_f) $
   $latex I_{x2} = \dfrac{B{t_f}^3}{12} $
   $latex A_2{y_2}^2 = Bt_f \cdot \big( \dfrac12 (H-t_f) \big) ^2 \quad= \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2 $
4. Indeks-3 : pelat sayap bawah
   Lebar = $latex B $
   Tinggi = $latex t_f $
   $latex y_3 = -(\dfrac{H}{2} – \dfrac{t_f}{2}) = -\dfrac12 (H-t_f) $
   $latex I_{x3} = \dfrac{B{t_f}^3}{12} $
   $latex A_3{y_3}^2 = Bt_f \cdot \big( -dfrac12 (H-t_f) \big)^2 \quad= \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2 $
   Nilainya sama dengan $latex I_{x2} $.
5. Nah.. tinggal dijumlahin semuanya…
   $latex \begin{array}{rl} I_{xx} &= ( I_{x1} + A_1{y_1}^2) + ( I_{x1} + A_1{y_1}^2) + ( I_{x1} + A_1{y_1}^2) \\ &=\big( \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12}) + 0 \big) + \big( \dfrac{B{t_f}^3}{12} + \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2 \big) + \big( \dfrac{B{t_f}^3}{12} + \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2 \big) \\ I_{xx} &=\big( \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12} \big) + \big( \dfrac{Bt_f}{6} ({t_f}^2 + 3(H-t_f)^2 ) \big) \end{array} &s=-2$
6. Itulah rumus momen inersia sumbu x-x alias $latex I_{xx} $ pada penampang baja WF sederhana.

Penyederhanaan

Setelah menimbang, mengingat, mempertimbangkan, beberapa hal.. saya coba memutuskan untuk membuat versi sederhana (baca : praktis) dari formula di atas. Rumus di atas memang susah dihapal sampe tujuh turunan!

Nah, kalo liat formula di atas, ada komponen $latex (H-2t_f) $ dan $latex (H-t_f) $. Tinggi $latex H $ yang dihitung selalu tidak penuh, kadang dikurangi $latex 2t_f $ dan kadang dikurangi $latex t_f $. Saya (baca: kita) sih pengennya biar lebih enak dihitung, $latex H $-nya dihitung full saja. Kenapa tidak? Kita lihat fakta di lapangan bahwa profil WF atau profil I, perbandingan antara tinggi $latex H $ dan tebal pelat sayap $latex t_f $ sebagian besar bernilai $latex 30 \pm 4 $.

Nah, untuk profil baja yang memenuhi perbandingan tersebut, saya coba melakukan trial-error (percobaan yang salah melulu..!!) 😀 dan akhirnya mencoba membuat formula pendekatan yang lebih sederhana untuk menentukan momen inersia sebuah profil baja IWF.

$latex I_{xx} \approx \big( \dfrac{t_wH^3}{12} \big) + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.7H^2) $

$latex \dfrac{H}{t_f} \approx 30 \pm 4 $

Faktor Ketiak

Kenyataannya lagi… pada profil baja baik itu profil baja yang hot-rolled maupun yang built-in, hampir selalu ada tambahan bentuk lengkungan di daerah ketiak yang mempunyai radius tertentu.

Untuk perhitungan eksaknya, tetap bisa dilakukan dan diturunkan formulanya, tapi belum di sini. Intinya adalah adanya tambahan ketiak tersebut membuat momen inersia yang sebenarnya (aktual) menjadi sedikit lebih besar daripada model sederhana di atas.

Oleh karena itu, penurunan rumus praktisnya pun sedikit dimodifikasi sbb:

$latex I_{xx} \approx \big( \dfrac{t_wH^3}{12} \big) + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.8H^2) $

$latex \dfrac{H}{t_f} \approx 30 \pm 4 $

Bedanya cuma angka 2.7 dan 2.8. Angka 2.7 dipakai jika tidak ingin memperhitungkan faktor ketiak, dan sebaliknya 2.8 jika ingin memperhitungkan ketiak tersebut.

Contoh

Kita ambil salah satu profil baja WF dari tabel Gunung Garuda… (kok Gunung Garuda melulu??)… yaaa… soalnya itu yang paling populer di Indonesia… bukankah orang Indonesia memang suka yang “popularitasnya tinggi?”… (waaah.. mulai nyerempet nih). Yasud… kita ambil profil baja WF 300x150x6.5×9.

Berdasarkan tabel, momen inersia profil tersebut adalah $latex I_{xx} = 7210 cm^4 \quad = 7210 \times 10^4 mm^4 $.

Kita coba hitung-hitung pake formula eksak untuk model sederhananya

$latex H = 300mm \quad B = 150mm \quad t_w = 6.5mm quad t_f = 9mm $

$latex \begin{array}{rl} I_{xx} &= \big( \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12} \big) + \big( \dfrac{Bt_f}{6} ({t_f}^2 + 3(H-t_f)^2 ) \big) \\ &= \big( \dfrac{6.5(300-2 \cdot 9)^3}{12} \big) + \big( \dfrac{150 \cdot 9}{6} (9^2 + 3(300-9)^2) \big) \\ &= 12147291 + 225 \cdot 254124 \\ I_{xx} &= 6932.5 \times 10^4 mm^4 \end{array} &s=-2$

Ternyata, untuk WF300x150x6.5×9 tanpa ketiak, momen inersia $latex I_{xx} $-nya adalah $latex 6932.5 \times 10^4 mm^4 $

Atau.. kira-kira sekitar 96% dari momen inersia dari tabel.

Sekarang kita coba rumus praktisnya. Tapi coba cek dulu perbandingan tinggi dan tebal pelat sayapnya.

$latex \dfrac{H}{t_f} = \dfrac{300}{9} = 33.333 $, OK!

Untuk yang tanpa ketiak (perbandingan terhadap hitungan eksak):

$latex \begin{array}{rl} I_{xx} &= \dfrac{t_wH^3}{12} + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.7H^2) \\ &= \dfrac{6.5 \cdot 300^3}{12} + \dfrac{150 \cdot 9}{6} (9^2 + 2.7 \cdot 300^2) \\ &= 14625000 + 225 \times 243081 \\ I_{xx} &= 6931.8 \times 10^4 mm^4 \end{array} &s=-2$

Galat 0.01% terhadap hitungan eksak.

Sementara untuk rumus praktis dengan ketiak (perbandingan terhadap tabel):

$latex \begin{array}{rl} I_{xx} &= \dfrac{t_wH^3}{12} + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.8H^2) \\ &= \dfrac{6.5 \cdot 300^3}{12} + \dfrac{150 \cdot 9}{6} (9^2 + 2.8 \cdot 300^2) \\ &= 14625000 + 225 \times 252081 \\ I_{xx} &= 7134.3 \times 10^4 mm^4 \end{array} &s=-2$

Galat 1% terhadap nilai dari tabel.

Nah,.. kalo ketemu profil baja WF yang properties-nya tidak ada di tabel, atau mungkin kebetulan kita lagi nggak punya tabel? Yaa.. tinggal hitung sendiri saja.. kan sudah ada formulanya dikasih di atas. Kalo susah ingat formulanya, kan sudah tau konsepnya…

$latex I_{xx} = \Sigma (I_{xi} + A_i{y_i}^2) $.

Enak tho? Mantep tho??

Rahasia

Psst… ternyata formula praktis di atas juga berlaku untuk momen inersia x-x profil UNP… hihihi.

Epilog:

“paman kok pake istilah ketiak-ketiak sih.. kan jorok… ntar ta’laporin hansip lho paman..”

Waduh… jadi harus pake istilah apa dong??